Expérience · Théorie des nombres

IBM Ponder This, septembre 2026 : des progressions de nombres de Loesch certifiées

Cette expérience porte sur une énigme de théorie des nombres posée par IBM Research : trouver une progression arithmétique dont tous les termes sont de la forme x² + xy + y², les « nombres de Loesch ». Résultats : une progression de 35 termes dont le dernier terme, 311 958 331, est le plus petit possible, et une progression de 45 termes qui ne se prolonge ni à gauche ni à droite. Chaque terme est livré avec un témoin entier (x, y) que chacun revérifie en une ligne, et l’entrée figure dans la liste des solveurs d’IBM avec le bonus « * ».

1. La question

Un nombre de Loesch est un entier de la forme x² + xy + y², avec x et y entiers : 0, 1, 3, 4, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 21, … Ce sont les carrés des distances à l’origine des points du réseau hexagonal (les entiers d’Eisenstein) : le point x + yω, avec ω = e^iπ/3, est à la distance √(x² + xy + y²) de l’origine.

Une progression arithmétique de L termes est donnée par son premier terme a et son pas d > 0 : a, a + d, …, a + (L − 1)d. L’énoncé d’IBM demande : (1) pour L = 35, une progression de nombres de Loesch dont le dernier terme est le plus petit possible ; (2) un bonus « * » pour une progression d’au moins 42 termes ; (3) un bonus « ** » pour la progression qui compte le plus de termes. L’énoncé rappelle le théorème de Green et Tao (des progressions arbitrairement longues existent parmi les nombres premiers) et note que cela vaut de façon analogue pour d’autres ensembles de densité suffisante, dont les nombres de Loesch.

2. Protocole et arbitre

Les solutions s’envoient par courriel à IBM, qui publie sur la page du mois le nom des participants ayant fourni une solution correcte et originale, avec une étoile par bonus. Chaque résultat de cette page est en plus contrôlé par une vérification en entiers exacts, qui tient en quelques lignes (section 5).

3. Résultats

Les deux progressions envoyées le 24 septembre 2026, avec le dernier terme de chacune :

4. Énoncés et certificat

Deux énoncés élémentaires suffisent. Le premier certifie qu’un terme est un nombre de Loesch : il suffit d’exhiber un témoin. Le second certifie qu’un entier n’en est pas un.

Proposition 1 (obstruction). Soit q un nombre premier congru à 2 modulo 3 et n ≥ 1 un entier. Si l’exposant de q dans n est impair, alors n n’est pas de la forme x² + xy + y².

Démonstration

Montrons d’abord : si q divise x² + xy + y², alors q divise x et y. Pour q = 2, c’est un contrôle de parité : x² + xy + y² est impair dès que x ou y l’est. Pour q impair, 4(x² + xy + y²) = (2x + y)² + 3y². Si q ne divisait pas y, on aurait (2x/y + 1)² ≡ −3 modulo q (la division se fait modulo q), donc −3 serait un carré modulo q ; or, pour q ≡ 2 modulo 3, la loi de réciprocité quadratique donne (−3/q) = (q/3) = −1. Donc q | y, puis q | (2x + y)², donc q | 2x, donc q | x.

Supposons n = x² + xy + y² avec q d’exposant impair e dans n. Si q | n, alors q | x et q | y, donc q² | n et n/q² = (x/q)² + (x/q)(y/q) + (y/q)² est de la même forme, avec l’exposant e − 2. En répétant, on arrive à un entier de la même forme où q est d’exposant 1 : il est divisible par q, donc par q², contradiction. ∎

La réciproque est classique (tout entier dont les facteurs premiers congrus à 2 modulo 3 ont un exposant pair est un nombre de Loesch), mais elle n’est pas utilisée ici : l’appartenance d’un terme est certifiée par son témoin, la non-appartenance par un nombre premier q de la proposition 1.

Ce que le certificat garantit

• que chacun des 35 (respectivement 45) termes s’écrit x² + xy + y², avec le témoin (x, y) donné ;
• que la progression de 45 termes est maximale : le terme précédent a − d et le terme suivant a + 45d ne sont pas des nombres de Loesch, avec pour chacun un nombre premier q qui le prouve (q = 47 pour a − d, q = 641 pour a + 45d) ; la progression de 35 termes l’est aussi (q = 41 pour a − d, q = 47 pour a + 35d) ;

Le dernier terme de la progression de 35 termes est minimal

Lemme. Si 35 termes consécutifs d’une progression arithmétique de pas d > 0 sont tous des nombres de Loesch, alors d est multiple de q pour q = 2, 5, 11 et 17, donc de 1 870 = 2 · 5 · 11 · 17.

Démonstration. Soit q ∈ {2, 5, 11, 17} (nombres premiers congrus à 2 modulo 3) et supposons que q ne divise pas d. Parmi les q premiers termes, un seul a + kd est divisible par q, avec 0 ≤ k ≤ q − 1 ; le terme a + (k + q)d l’est aussi, et k + q ≤ 2q − 1 ≤ 33 : les deux sont dans la progression. Si q² divisait les deux, il diviserait leur différence qd, donc q | d, ce qui est exclu. L’un des deux est donc divisible par q, non par q², donc d’exposant exactement 1 pour q (il n’est pas nul, puisque 0 est divisible par q²). La proposition 1 dit qu’il n’est pas un nombre de Loesch : contradiction. ∎

Le dernier terme est a + 34d. Avec d = 1 870 m, il vaut au moins 34 · 1 870 · m. Pour qu’il soit au plus 311 958 331, m ne dépasse donc pas 4 906. Le calcul exhaustif des 4 906 valeurs de m, mené le 11/10/2026 (table des 46 598 855 nombres de Loesch jusqu’à 311 958 331 ; pour chaque m, tous les premiers termes a ≥ 0 sont testés), trouve exactement une progression de 35 termes dont le dernier terme est au plus 311 958 331 : celle de la page, avec m = 1 449. Le dernier terme de la page est donc le plus petit possible : c’est le résultat d’un calcul exhaustif.

5. Revérifier soi-même

Télécharger le fichier JSON des deux progressions, puis exécuter ce court programme Python (bibliothèque standard seule). Il contrôle les témoins de chaque terme et affiche, pour les termes a − d et a + L·d, le nombre premier q ≡ 2 (mod 3) et la parité de son exposant.

import json

d = json.load(open("ibm_ponder_this_progressions.json"))
for p in d["progressions"]:
    a, pas, L = p["a"], p["d"], p["length"]
    ok = all(x*x + x*y + y*y == a + k*pas for k, (x, y) in enumerate(p["witnesses"]))
    print(L, len(p["witnesses"]) == L and ok, a + (L-1)*pas)
    for k, q in p["obstructions"].items():          # termes a - d et a + L*d
        n = a + int(k)*pas
        v = 0
        while n % q**(v+1) == 0:
            v += 1
        print("  terme", k, "q =", q, q % 3 == 2, "exposant impair :", v % 2 == 1)

Résultat attendu : 35 True 311958331 suivi des deux obstacles de cette progression (q = 41 pour le terme −1, q = 47 pour le terme 35), puis 45 True 406222762969 suivi des siens (q = 47 et q = 641) ; chaque ligne d’obstacle se termine par True True. Le fichier JSON contient aussi l’empreinte sha256 du fichier de certificats déposé le 24 septembre 2026.

6. La carte du défi : une rosace de normes

Chaque nombre de Loesch n est le carré de la distance à l’origine d’un ou plusieurs points du réseau hexagonal ; leur nombre, toujours multiple de 6, est la quantité de manières dont n s’écrit x² + xy + y² (un point et ses 11 images par les symétries du réseau comptent pour 12). La rosace place la progression de 45 termes sur des anneaux : un anneau par terme, du terme 0 (anneau intérieur) au terme 44 (anneau extérieur), et sur chaque anneau, l’angle de chacun des points du réseau dont le carré de la distance vaut ce terme. Le rayon du dessin est l’indice du terme, non sa valeur. Les deux anneaux en pointillés dorés sont les termes a − d et a + 45d : ils ne portent aucun point, et c’est ce qui rend la progression maximale. Les 1 560 points sont calculés en entiers exacts.

Le nombre de points par terme, pour la progression de 45 termes (échelle logarithmique de 12 à 384) : le terme 27 en porte 384, et 35 des 45 termes en portent 12 ou 24.

7. Ce que modélise cette question

Ce type de question modélise la recherche de structure additive dans un ensemble défini par une propriété multiplicative : ici, les entiers représentés par une forme quadratique, un ensemble où l’énoncé d’IBM rappelle que des progressions arbitrairement longues existent. Elle relève de la théorie des nombres calculatoire : contraintes de divisibilité, énumération sous congruences, certificats entiers vérifiables par n’importe qui.

Mon projet d’IA au service de ma recherche

Ce défi n’est pas un but en soi : c’est un banc d’essai de ma recherche sur une IA embarquée certifiable. Mon projet d’IA, dont le fonctionnement reste confidentiel, me permet d’atteindre une progression de 35 termes au dernier terme minimal et une progression de 45 termes non prolongeable, vérifiées en entiers exacts. Le certificat et l’arbitre en font foi : ce n’est pas mon explication qu’il faut croire, c’est le résultat qui se revérifie. Il s’agit du meilleur résultat connu à la date indiquée, pas d’un optimum démontré.