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Kakeya discret : l’aire de l’union de 128 triangles minces

Cette page présente un travail de recherche sur le problème de Kakeya discret, dans sa version des triangles minces de Keich à n = 128 : 128 triangles minces dont les pentes sont imposées, à placer pour que l’aire de leur union soit la plus petite possible. Elle montre l’énoncé exact, le paysage des valeurs publiques connues avec leurs sources, puis une valeur d’aire de 0,106765175154124465, contrôlée par trois vérificateurs indépendants.

1. Le problème

Les pentes sont imposées : a_i = i/128 pour i de 0 à 127, et δ = 1/128. Pour chaque i, une ordonnée b_i est libre. Le triangle mince numéro i a pour section verticale, pour x compris entre 0 et 1, l’intervalle [a_i·x + b_i − δ(1 − x), a_i·x + b_i] : une largeur δ en x = 0, qui se réduit à un point en x = 1. L’objectif est de minimiser l’aire de l’union des 128 triangles.

Chaque triangle a pour aire δ/2 = 1/256 ; 128 triangles sans aucun recouvrement couvriraient 1/2. Les 128 ordonnées déplacent les triangles les uns par rapport aux autres et décident de leur recouvrement. C’est la version discrète d’un problème classique de géométrie : la taille minimale d’un ensemble qui contient un segment dans chaque direction (ensembles de Kakeya et de Besicovitch).

2. Le paysage public

Le tableau réunit les valeurs d’aire publiées pour ce problème à n = 128, avec leur source et leur date. Plus l’aire est petite, plus elle est favorable. C’est la carte du problème : elle situe les valeurs connues sur un axe et ne dit rien de la façon dont elles sont obtenues.

Classement de l’arène relevé le 09/10/2026. Les quatre premières entrées sont données ; la valeur de l’expérience n’y figure pas.

3. La valeur de l’expérience

L’aire de l’union des 128 triangles, pour le jeu d’ordonnées de l’expérience, est exactement la fraction :

723835944252385111836037533790024524449633/6779700807941047711428409834818691902996480

soit environ 0,106765175154124465. Cette aire est inférieure de 3,26 × 10⁻⁵ à celle de CrossingPaths, 2e du classement de l’arène, et supérieure de 1,12 × 10⁻⁵ à celle de Ghazt, 1er du classement (relevé du 09/10/2026).

Trois vérificateurs indépendants rendent la même aire, contrôlés le 13/10/2026 sur une copie du fichier :

Les trois valeurs concordent à 10⁻¹⁵ près ; les deux derniers vérificateurs calculent en nombres flottants, le premier en fractions.

4. Empreinte

5. Ce que modélise cette question

Le problème de Kakeya demande la plus petite surface qui contienne un segment unité dans chaque direction. Sa version discrète à n directions a pour ordre de grandeur 1/log n : Córdoba donne un minorant et Keich, avec Schoenberg, un majorant, de cet ordre. Les valeurs exactes ne sont connues que pour n ≤ 4 (Station). À n = 128, les valeurs publiées vont de 0,119207 (Keich, 1999) à 0,10675394011230244 (Ghazt, 06/10/2026) : le paysage de la section 2 montre où se situe chacune.

Source : arXiv:2603.15617, arXiv:2608.23691, arXiv:2511.02864, Keich (1999) et Einstein Arena, relevés aux dates indiquées.

Un programme de recherche, une épreuve extérieure

Ces résultats couvrent des domaines sans rapport entre eux : la géométrie des empilements (Packomania, Friedman Packing Center), la mécanique spatiale (ESA SpOC 4), la théorie des nombres (IBM Ponder This) et les graphes (FlyWire Codex). Dans chacun, le résultat est inscrit sur la page d’un tiers, table, classement ou liste, et se revérifie par calcul : l’ESA évalue chaque solution avec son simulateur, Packomania publie les entrées qu’il retient, IBM publie une liste de noms, Friedman tient une page qui crédite les auteurs. Ces résultats relèvent d’un même programme de recherche : ne retenir que ce qu’un certificat prouve.

Cette page applique le même principe à un problème de géométrie discrète : une valeur d’aire exacte, trois contrôles indépendants et l’empreinte du fichier. À la différence des autres pages de défi, cette valeur n’est inscrite sur la page d’aucun tiers : elle est publiée ici comme une recherche.

Le principe est public : chaque hypothèse est testée par le calcul et n’est retenue que si un certificat la prouve. Des IA génératives me servent d’assistants, interchangeables : elles proposent, mon IA décide, le certificat tranche. Le fonctionnement interne reste confidentiel. Les résultats, eux, sont publics.

Le certificat change la nature de la preuve. Un résultat se vérifie sans faire confiance à celui qui l’a produit, comme une démonstration se vérifie sans connaître son auteur. C’est ce qui rend cette page possible : vous n’avez pas à me croire, vous revérifiez. Le résultat est figé par son empreinte, publiée.

Tout le travail tourne sur du matériel accessible : un PC de bureau, un Raspberry Pi 5 et un Raspberry Pi Pico, qui servent aussi à vérifier que le calcul reste identique d’une machine à l’autre ; ponctuellement, une instance de 32 processeurs virtuels. Le programme vise une IA embarquée certifiable, jusque sur des machines modestes.

Un résultat vérifiable sans confiance, figé, revérifiable : ces propriétés ouvrent sur les usages visés :

• l’IA embarquée certifiable, jusque sur des machines modestes ;
• le pilotage des IA génératives, dont on ne retient que ce qui est prouvé ;
• l’identité vérifiable des agents d’IA ;
• l’audit après incident : rejouer exactement une décision passée ;
• la science reproductible ;
• la carte ouverte des calculs certifiés : chaque résultat avec son certificat, pour ne pas recalculer ce qui est prouvé.

Le programme de recherche détaille ce cadre. Tous les résultats, avec leurs sources et leurs dates, sont réunis sur la page Résultats.